2023年SAT进入及机考时代，数學(xué)四大板块要点解析！-澜大教育官网

2023年SAT进入及机考时代，数學(xué)四大板块要点解析！

发布时间：2023/10/13 10:19:25

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SAT自2023年进入及机考时代（美國(guó)本土滞后一年依然保持纸筆(bǐ)考），各个板块在形式与内容上都有(yǒu)一定程度的变化。

就结构流程而言，在以前的纸筆(bǐ)考中数學(xué)在section3和section4两个板块，而现在的数學(xué)也差不多(duō)，只不过名称换了，统称Math section，然后分(fēn)成modules1和modules2。但也不仅仅是换了一个名称，因為(wèi)modules2的难度是基于考生modules1完成的情况来调整的，通俗来讲就是“modules1你做得越好那么modules2就会越难，反之则会越简单”。当然越难的题目对应的得分(fēn)就会越高；也即所谓的“adaptive test”。整體(tǐ)的题量如下图所示：

所以数學(xué)部分(fēn)考试时長(cháng)為(wèi)70min，总题量為(wèi)44道，但是每个modules中包含了两道pretest questions 是不参与计分(fēn)的，它们主要是用(yòng)于平衡和评价各场考试的难度差异，帮助主办方更加科(kē)學(xué)地去对考生的成绩进行评分(fēn)！

就改革框架而言，改革后SAT数學(xué)的内容从大纲来看几乎没有(yǒu)变化，比较明显的差异是新(xīn)版大纲没有(yǒu)提及complex number这个概念，所以后面大概率这个知识点是不考了。我们可(kě)以先来看看题型的形式：

注：按每个modules按20道题计算（即不考虑那两道pretest questions）

此外，数學(xué)板块的内容则可(kě)参考如下表格（仅宏观知识板块）：

就考查内容部分(fēn)，接下来我们根据这四个板块来进行较為(wèi)详细的介绍和分(fēn)析。

Algebra 🦘代数

SAT数學(xué)考试中包含了多(duō)个数學(xué)知识点，其中代数（Algebra）是其中一个重要的部分(fēn)。以下是SAT数學(xué)代数知识点部分(fēn)的概括和介绍：

基本代数操作：

加法、减法、乘法和除法：理(lǐ)解和应用(yòng)这些基本运算是解决各种数學(xué)问题的基础。

例题：

如果 a = 3 且 b = 5，求 a + b 的值。

代数表达式：

代数表达式是包含变量、常数和操作符的数學(xué)表达式，如：2x + 3。在SAT中，你需要能(néng)够简化、展开和操作这些表达式。

例题：

化简表达式 2(x + 4) - 3x。

一次方程和不等式：

一次方程和不等式是一种包含一个未知数的代数等式，如：2x - 5 = 7。你需要能(néng)够解这些方程和不等式，找出未知数的值。

例题：

解方程 3x + 2 = 11。

多(duō)项式：

多(duō)项式是包含多(duō)个项的代数表达式，如：3x^2 - 2x + 5。你需要理(lǐ)解多(duō)项式的性质，如次数、系数和因式分(fēn)解。

例题：

因式分(fēn)解多(duō)项式 x^2 - 4。

函数：

函数描述了输入和输出之间的关系。你需要理(lǐ)解函数的图像、定义域、值域以及如何表示函数。

例题：

给定函数 f(x) = 2x + 1，计算 f(3) 的值。

绝对值：

绝对值是一个数距离零的距离，你需要知道如何解决包含绝对值的方程和不等式。

例题：

解不等式 |2x - 3| < 5。

坐(zuò)标平面：

在坐(zuò)标平面上，你需要理(lǐ)解坐(zuò)标点、斜率、截距、直線(xiàn)方程和距离公式等概念。

例题：

给定两点 A(3, 4) 和 B(7, 2)，求線(xiàn)段 AB 的斜率。

SAT数學(xué)的代数部分(fēn)通常被认為(wèi)整體(tǐ)难度不是很(hěn)大，但它确实考验學(xué)生的理(lǐ)解能(néng)力和仔细程度。这一部分(fēn)主要涉及基本的代数概念和技能(néng)，但在解题时需要學(xué)生运用(yòng)这些概念来解决多(duō)步骤的问题。以下是SAT数學(xué)代数部分(fēn)的特点：

基本概念：SAT数學(xué)代数部分(fēn)包含了基本的代数概念，如方程、表达式、和函数。这些概念在學(xué)生的数學(xué)學(xué)习中通常都有(yǒu)涉及。

1.多(duō)步骤问题：虽然问题看似简单，但它们通常需要學(xué)生进行多(duō)步骤的推理(lǐ)和计算。學(xué)生需要能(néng)够正确地应用(yòng)代数技能(néng)，从问题的陈述中提取信息，并采取适当的步骤来解决问题。

2.精确性要求：SAT数學(xué)代数部分(fēn)强调精确性和仔细程度。小(xiǎo)的计算错误或疏忽可(kě)能(néng)导致错误的答(dá)案。因此，學(xué)生需要在解题时格外小(xiǎo)心，审查他(tā)们的工作，以确保没有(yǒu)疏忽。

3.代数表达式的操作：學(xué)生需要能(néng)够简化、展开和操作代数表达式，以便有(yǒu)效地解决问题。这可(kě)能(néng)涉及到因式分(fēn)解、合并同类项或配方法。

Advanced Math 高等数學(xué)

SAT机考的Advanced Math部分(fēn)：

SAT机考的Advanced Math部分(fēn)旨在评估考生在数學(xué)领域的更高级别技能(néng)，其中特别侧重了对二次函数的三种主要形式和顶点知识点的理(lǐ)解。

1. 二次函数的三种形式：

在Advanced Math部分(fēn)，考生需要精通三种主要形式的二次函数：

a. 标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。學(xué)生需要了解如何从标准形式中提取信息，如顶点坐(zuò)标和开口方向。

b. 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中( h, k)是顶点坐(zuò)标。學(xué)生需要知道如何从顶点形式中识别顶点以及如何画出函数的图像。

c. 交点形式：y=a(x-r1)*(x-r2)，其中r1，r2抛物(wù)線(xiàn)的x轴焦点

2. 顶点的知识点：

机考Advanced Math部分(fēn)将更严格地考察顶点的相关知识：

學(xué)生需要能(néng)够确定二次函数的顶点坐(zuò)标，并理(lǐ)解顶点如何影响二次函数的图像，包括平移、缩放和反转等。

这些要求增加了机考Advanced Math部分(fēn)的难度，因此考生需要更深入地掌握二次函数的各种形式以及与之相关的数學(xué)概念。除了二次函数，Advanced Math部分(fēn)还包括其他(tā)高级数學(xué)内容，如多(duō)项式、radical equation、指数函数等。因此，备考时需要更广泛的数學(xué)知识和更高的数學(xué)技能(néng)。

SAT机考的Advanced Math部分(fēn)与多(duō)项式：

在SAT机考的Advanced Math部分(fēn)，多(duō)项式是一个关键的数學(xué)知识点。多(duō)项式是一个包含多(duō)个项的代数表达式，每个项由一个常数系数和一个指数幂组成。这个部分(fēn)要求考生深入了解多(duō)项式的性质和操作。

1. 多(duō)项式的性质：

次数：多(duō)项式的次数是其zui高指数幂的次数。考生需要理(lǐ)解多(duō)项式的次数如何影响其图像，以及如何确定多(duō)项式的次数。

系数：多(duō)项式的系数是每个项前面的常数。學(xué)生需要知道如何通过系数来确定多(duō)项式的特征，如根和图像的形状。

根（零点）：多(duō)项式的根是使多(duō)项式等于零的值。考生需要了解如何找到多(duō)项式的根，并理(lǐ)解它们如何与多(duō)项式的图像相关联。

2. 多(duō)项式的操作：

因式分(fēn)解：學(xué)生需要知道如何因式分(fēn)解多(duō)项式，特别是二次多(duō)项式，以便找到其根。

合并同类项：多(duō)项式中可(kě)能(néng)包含相似的项，學(xué)生需要了解如何将它们合并為(wèi)更简单的形式。

多(duō)项式的图像：考生需要能(néng)够根据多(duō)项式的性质和方程绘制其图像，以便解答(dá)与图像相关的问题。

SAT机考的Advanced Math部分(fēn)与指数函数：

在SAT机考的Advanced Math部分(fēn)，指数函数是一个关键的数學(xué)概念。指数函数通常以以下形式表示：f(x) = a^x，其中a是一个常数，x是指数。这个部分(fēn)要求考生深入了解指数函数的性质和应用(yòng)。

指数函数的性质：

底数（基数）：底数a是指数函数的一个重要部分(fēn)，它决定了函数的增長(cháng)趋势。不同的底数会导致指数函数的不同行為(wèi)。

指数：指数x决定了底数a的次方。它可(kě)以是实数，而不仅仅是整数，这使得指数函数具有(yǒu)更广泛的应用(yòng)。

增長(cháng)和衰减：學(xué)生需要了解不同底数和指数值对函数增長(cháng)和衰减速度的影响，以及如何描述指数函数的图像。

Problem-Solving and Data Analysis 问题解决与数据分(fēn)析

首先我们来看官方是如何对这个板块的考查内容进行描述的：

Using quantitative reasoning, students will fluently solve problems using percentages, proportional relationships, ratios, rates, and units; analyze and interpret distributions of data; use various representations of data to find relative frequency, probabilities, and conditional probabilities; fit models to data and compare linear and exponential growth; and calculate, compare, and interpret mean, median, range and standard deviation, understand basic study design, and interpret margin of error, all from high school courses preparatory for the math aligned with college and career readiness expectations.

可(kě)以看出，此板块考查了不少常见的基础概念，譬如分(fēn)数，小(xiǎo)数以及百分(fēn)数的意义及其之间转换，单变量数學(xué)问题以及概率的求解；同时，也会考查一些部分(fēn)同學(xué)可(kě)能(néng)没有(yǒu)學(xué)习到过的知识点，譬如standard deviation和margin of error等。具體(tǐ)来说，这个板块会如何来考查學(xué)生相关的知识点呢(ne)，我们来看官方的说法：

这个板块的考查比例有(yǒu)所下降，从纸质版本的约30%下调到了约15%（考查5-7道题），為(wèi)之前的一半；但是它的重要程度依然不可(kě)小(xiǎo)觑，因為(wèi)这个板块涉及到的概念和方法会与其它板块的知识点有(yǒu)所交集，所以不能(néng)单纯地看它的占比来评价它的重要性，当然机考改革之后扣分(fēn)可(kě)能(néng)会非常恐怖也是原因之一。毕竟，咱们的目标是满分(fēn)！

就内容而言，对于比率比例和分(fēn)数小(xiǎo)数等基础概念相信绝大多(duō)数的學(xué)生都有(yǒu)學(xué)习过，内容相对简单，但是我们依然要注意常见考点的坑及其相关的解题思路，以下面这道题為(wèi)例：

Clayton will mix x milliliters of a 10% by mass saline solution with y milliliters of a 20%by mass saline solution in order to create an 18%by mass saline solution. The equation above represents this situation. If Clayton uses 100milliliters of the 20%by mass saline solution, how many milliliters of the 10% by mass saline solution must be use?

这便是一种非常常见的数學(xué)模型：即两种不同浓度的溶液相混合，得到不同浓度的新(xīn)溶液。此类问题关键点便在于两个“不变”：混合前后的體(tǐ)积之和不变 & 混合前后的溶质质量不变，因為(wèi)混合前后體(tǐ)积不变，我们可(kě)得到混合后溶液的體(tǐ)积為(wèi)（x+y）milliliters，再根据混合前后溶质质量不变可(kě)得下式：

0.10x + 0.20y = 0.18( x + y )

然后我们再根据题目的要求，将y溶液的體(tǐ)积带入上式便可(kě)得到所求答(dá)案了。

至于Statistics数理(lǐ)统计板块，我们至少要知道如下的几个基础概念：

Mean 平均值

Median 中位数

Mode 众数

Range 级差

Outlier 离群值

Standard Deviation 标准差

Box-whisker Plot 箱型图

其中Standard Deviation 标准差的概念值得引起大家的注意，因為(wèi)在练习和实考之中这是一个常见的易错点，如下题：

平均值mean的计算想必大家都没有(yǒu)问题，但是考试的时候我们其实是没有(yǒu)那么多(duō)时间的去进行此类题型的计算的，一方面是因為(wèi)平均值的计算比较麻烦（虽然简单），另一方面是实考中的module 2的时间是非常紧张的。所以我们要对常见的数据特征非常熟悉，譬如此题之中的两组数据都是对称的，所以其平均值必然為(wèi)“对称轴”上面，即Data Set A的平均值為(wèi)22，Data Set B的平均值為(wèi)23。

其次Standard Deviation的公式為(wèi)：

但是大纲有(yǒu)明确的说明不需要考生进行标准差的计算，所以我们只需要理(lǐ)解这个公式，然后忘记它！从公式结构能(néng)够看出来，Standard Deviation描述了数据的离散程度，也就是说：若是数据🈷越分(fēn)散，那么Standard Deviation就越大，若是数据越集中，那么Standard Deviation就越小(xiǎo)（此处為(wèi)狭义的描述，但用(yòng)在本考试之中一定没有(yǒu)问题）。故而可(kě)以非常直观地判断出Data Set A的Standard Deviation是比Data Set B的Standard Deviation要大的，因為(wèi)它更加分(fēn)散。

而关于概率的问题这个地方不作多(duō)的讨论，只是提醒一下大家一定要注意conditional probability的概念。具體(tǐ)来说，就是在SA天数學(xué)的考查之中，所以的概率相关的题目都要注意讨论范围和讨论对象的限定，不要默认讨论数据為(wèi)题干之中的所有(yǒu)数据。如下题：

在这个题目里面我们注意提问句中的前半段便限定了讨论的范围：If one of the stocks that increased in value in August is chosen at random，提问的对象是那些“increased in value in August”的stocks，而不是所有(yǒu)的stocks，问的是在这些stocks里面“increased in value in July的stocks的比例。只要把题目之中的信息之间的关系搞明白了，此类题型还是很(hěn)简单的。

zui后，数理(lǐ)统计板块关于抽样调查的出题角度比较多(duō)，试题之中也常常会给到一些我们不熟悉的场景来将数學(xué)问题具體(tǐ)化（文(wén)字往往偏多(duō)），这样的形式导致了不少同學(xué)在读题的环节容易把题目理(lǐ)解错，或是没有(yǒu)明白题目的含义，所以相关的题型需要大家多(duō)加练习，做多(duō)了见多(duō)了自然就不难了。不过这个板块依然存在不少同學(xué)可(kě)能(néng)没有(yǒu)學(xué)过的概念，譬如抽样调查的理(lǐ)论及margin of error等概念。

Sampling Survey 抽样调查：抽样调查是一种非全面调查，抽样调查是根据随机的原则从总體(tǐ)中抽取部分(fēn)实际数据进行调查，并运用(yòng)概率估计方法，根据样本数据推算总體(tǐ)相应的数量指标的一种统计分(fēn)析方法。抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总體(tǐ)情况的信息资料，因而，也可(kě)起到全面调查的作用(yòng)。

Margin of Error 边际误差：标准定义很(hěn)复杂，我们也没必要去记忆。这里我们可(kě)以这么来理(lǐ)解它：边际误差即是允许的误差的范围，在SAT数學(xué)里面常以“测量值+/—Margin of Error”来表达，如：

此题之中，4.5為(wèi)样本平均值的测量值，而Margin of Error為(wèi)0.5，故总體(tǐ)数据的平均值的估计值应该落在4.5±0.5这个范围之中。所以这个概念本身并不难，它是基于sampling的基础之上，对于样本测量结果的更加精确，或是说科(kē)學(xué)的一种描述手段而已！

Geometry and Trigonometry 几何与三角函数

首先我们来看官方是如何对这个板块的考查内容进行描述的：

可(kě)以看出，此板块考查了不少常见的基础概念，譬如三角形，四边形，圆形以及一些常规图形组合出来的非常规图形等；同时，也会考查一些部分(fēn)同學(xué)可(kě)能(néng)没有(yǒu)學(xué)习到过的知识点，譬如圆的标准方程和三角函数trigonometry等。具體(tǐ)来说，这个板块会如何来考查學(xué)生相关的知识点呢(ne)，我们来看官方的说法：

这个板块的考查比例有(yǒu)所上升，从纸质版本的约10%上调到了约15%（考查5-7道题），比之前多(duō)了一半；可(kě)见机考改革之中几何板块的考查比重变大了，不仅是考查的数量比例在增大，根据考生们的反馈来看，几何板块的难度也有(yǒu)明显的提升，这一点其实在纸质版本的zui后机场就有(yǒu)苗头，那几场出现了不少相对较难的几何题（考查了部分(fēn)原题，难度较大的几道）。

就内容而言，常见的几何图形，如三角形，矩形，梯形等多(duō)边形，都是非常基础的，内容相对简单，但是我们依然要注意常见考点的坑及其相关的解题思路，同时不要忘记了bluebook考试过程数學(xué)板块的右上角会出现这样的两个按钮：

其中的的calculator这里就不多(duō)做赘述了，因為(wèi)咱们有(yǒu)单独的文(wén)章进行讲解分(fēn)析，那个reference其实就是纸质版本之中section 3和section 4前面的公式表。当然，我是更加建议大家要背下来的，因為(wèi)它们不仅是公式，更是咱们解题的思路本身，如图：

这个公式表之中的每一个公式都是重点，都强烈建议大家背下来，特别强调一下第1排的zui后两个special right triangles，一定要对相关的特殊值非常敏感！如下题：

由于图中的三角形為(wèi)直角三角形，所以我们可(kě)以直接讨论这个特殊直角三角形的变長(cháng)比例关系来进行求解，因為(wèi)它的三边之比為(wèi)：1:2:√3（注意不要把变長(cháng)的比例关系比错位了！）

当然了，我们也可(kě)以利用(yòng)三角函数的知识来帮助我们分(fēn)析求解，对于三角函数板块SAT考查的并不是很(hěn)多(duō)，但是至少我们要知道直角三角形中三角函数的表达，以及一个三角函数公式：

有(yǒu)不少同學(xué)容易把上面的边長(cháng)关系记错，所以有(yǒu)“SOHCAHTOA”这个口诀，有(yǒu)相同问题的同學(xué)可(kě)以取用(yòng)！有(yǒu)如下题：

此类题型都建议多(duō)动手写写画画，因為(wèi)它虽然不难，但是很(hěn)容易一不小(xiǎo)心把点或是边弄错，此题只需要将图形画出来，把ABC都正确地对应上，再直接套用(yòng)上面的结构即可(kě)知 sin C = BC/AC = 0.8。这道题其实还體(tǐ)现了三角函数板块另外一个重要公式：

sin(90º-α)= cosα

cos(90º-α)=sinα

有(yǒu)没有(yǒu)发现，上一道题目里面的sinC正好就等于cosB，这边恰好是上面的公式背后逻辑的體(tǐ)现。如题：

In right triangle XYZ, sinα=cos20º，What is themeasure, in degrees, of angle α？

如果我们知道上面的两个三角函数的公式，那么便知道α与20º互余，进而得知α為(wèi)70º的答(dá)案了！

当然了，除了平面几何相关的图形，SAT数學(xué)还可(kě)能(néng)会考查坐(zuò)标几何，此类题型只要能(néng)够灵活地掌握平面几何相关的知识点了，相关的题型做起来也会得心应手，因為(wèi)它知识把平面几何的图形放到了坐(zuò)标系之中去进行探讨而已，本质没有(yǒu)區(qū)别。不过，其中还是有(yǒu)些细节是需要我们知道的，譬如圆的标准方程便是一个常见的考点。所有(yǒu)的圆都可(kě)以用(yòng)如下的式子来进行表达：

（x - a)²+ (y - b)² = r²

其中（a，b）為(wèi)圆的圆心坐(zuò)标，r為(wèi)圆的半径。常见考题就是需要我们将原题之中的结构变形為(wèi)便准表达式，这样圆的特征就能(néng)一览无余了。当然了，也有(yǒu)反过来进行考察的角度，如下题：

A circle in the xy-plane has its center at (1, −7) and has a radius of 3. An equation of this circle is x²+y²+ax+by+c =0 . What is the value of c ?

我们知道，只要确定了圆的圆形及半径，那么圆边能(néng)够被唯一确定下来。所以我们可(kě)以利用(yòng)题干之中的信息将圆的标准表达式写出来，然后再展开与x²+y²+ax+by+c =0这个结构做对比，便能(néng)直观地得到c的值了！

以上便是SAT机考改革之后数學(xué)板块的考查核心重点了，希望通过本文(wén)的讲解，能(néng)够帮助大家更加直观而深入地了解这个板块的考查要点，能(néng)够给到正在备考的你一点帮助，也祝大家早日拿(ná)到自己满意的成绩！

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